Стандартное отклонение — это статистическая мера, отражающая степень разброса значений в выборке или распределении относительно их среднего значения. Оно показывает, насколько отдельные элементы данных склонны отклоняться от средних показателей, и позволяет количественно оценивать вариацию и неустойчивость данных. Чем больше стандартное отклонение, тем выше разброс значений, и наоборот — низкое стандартное отклонение свидетельствует о более тесной группировке данных вокруг среднего.
| Параметр | Описание |
|---|---|
| Символ | σ (сигма) — для генеральной совокупности, s — для выборки |
| Размерность | Такая же, как и у исходных данных |
| Вычисление | Корень квадратный из дисперсии |
| Влияние выбросов | Высокая чувствительность к экстремальным значениям |
| Типы данных | Количественные данные (интервальные и отношные шкалы) |
| Интерпретация | Показывает «типичное» или среднее отклонение от среднего значения |
| Применяется в | Статистике, экономике, науке, финансах, образовании и др. |
- Применение в реальной жизни:
- Анализ успеваемости студентов по экзаменам
- Измерение волатильности финансовых инструментов
- Контроль качества на производстве
- Виды стандартного отклонения:
- Для генеральной совокупности (population standard deviation)
- Для выборки (sample standard deviation)
Формула стандартного отклонения
Для генеральной совокупности стандартное отклонение вычисляется по формуле:
σ = sqrt( Σ(xi - μ)² / N ), где:
- xi — отдельное значение в совокупности
- μ — среднее арифметическое всей совокупности
- N — общее количество значений
Для выборки формула выглядит следующим образом:
s = sqrt( Σ(xi - x̄)² / (n - 1) ), где x̄ — выборочное среднее, n — размер выборки. Использование n — 1 (вместо n) служит для исправления смещения, возникающего при работе с конечной выборкой.
Понятие стандартного отклонения берет своё начало в работах французского математика Пьера Лапласа (XVIII век), а широкое применение получило в конце XIX — начале XX века с развитием математической статистики. Первое использование стандартного отклонения связано с анализом погрешностей при научных измерениях. Стандартное отклонение стало ключевым инструментом в развитии теории вероятностей, физики, биометрии и социальных наук. Формула стандартного отклонения была систематизирована и получила широкое распространение благодаря работам статистиков Карла Пирсона и Рональда Фишера.
Значение и интерпретация
Стандартное отклонение помогает понять степень вариации данных и оценить стабильность исследуемого процесса. Если все значения набора данных совпадают, стандартное отклонение будет равно нулю. Если разброс значителен, стандартное отклонение будет высоким.
С помощью стандартного отклонения удобно проводить так называемую «правила трех сигм» для нормального распределения: около 68% всех значений находятся в пределах одного стандартного отклонения от среднего, 95% — в пределах двух и 99,7% — в пределах трёх стандартных отклонений.
Связь с другими статистическими понятиями
- Дисперсия — квадрат стандартного отклонения
- Мода, медиана и среднее — показатели центральной тенденции, а стандартное отклонение — мера рассеивания
- Квартили и интерквартильный размах — альтернативные показатели разброса
Кто внес вклад в развитие понятия
- Карл Пирсон — британский математик и статистик, который формализовал понятие стандартного отклонения и продвинул его использование в биометрии и других областях.
- Рональд Фишер — английский статистик, внёсший фундаментальный вклад в развитие теории выборочного стандартного отклонения и дисперсионного анализа.
FAQ по смежным темам
- Что такое дисперсия и чем она отличается от стандартного отклонения?
- Дисперсия — это среднее квадратичное отклонение от среднего, а стандартное отклонение — его квадратный корень. То есть стандартное отклонение всегда имеет ту же размерность, что и исходные данные, а дисперсия — размерность в квадрате.
- Когда лучше пользоваться медианой, а не средним и стандартным отклонением?
- Если данные содержат выбросы или распределение данных сильно асимметрично, медиана и интерквартильный размах дают более устойчивые оценки положения и разброса данных по сравнению со средним и стандартным отклонением.
- Можно ли использовать стандартное отклонение для категориальных данных?
- Нет, стандартное отклонение применимо только к количественным переменным (интервальные и относительные шкалы), а для категориальных данных используют иные меры вариации.
- Почему стандартное отклонение чувствительно к выбросам?
- Формула стандартного отклонения включает возведение отклонений в квадрат, что значительно увеличивает влияние больших по модулю значений (выбросов) на итоговый результат.