Стандартное отклонение — это числовая характеристика, используемая в статистике и математике для измерения степени разброса значений числовых данных относительно их среднего арифметического. Чем выше стандартное отклонение, тем больше значения элементов выборки или генеральной совокупности отличаются от среднего значения.
| Параметр | Описание |
|---|---|
| Формула для выборки | s = √(Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)) |
| Формула для генеральной совокупности | σ = √(Σ(xᵢ − μ)² / N) |
| Единицы измерения | Такие же, как и у исходных данных |
| Область применения | Статистика, экономика, инженерия, естественные науки |
| Связанные показатели | Дисперсия, среднее арифметическое, коэффициент вариации |
| Условные обозначения | σ (для генеральной совокупности), s (для выборки) |
| Значение при одинаковых данных | Равно 0 |
- Стандартное отклонение широко используется для анализа надежности данных и оценки рисков.
- Показатель помогает определить, насколько возможны большие отклонения от среднего значения.
- В экономике и финансах стандартное отклонение служит для оценки волатильности активов.
- В инженерии благодаря этому показателю анализируют стабильность процессов.
- В социальных науках с помощью стандартного отклонения сравнивают различия в тестовых или социологических данных.
Расчет стандартного отклонения
- Вычислить среднее арифметическое (для выборки — x̄, для совокупности — μ).
- Найти разности между каждым значением и средним.
- Возвести эти разности в квадрат.
- Сложить результаты и, в зависимости от типа данных, разделить сумму на
n−1(выборка) илиN(совокупность). - Извлечь квадратный корень из итогового значения.
Применение и преимущества
- Оценка разброса данных в исследованиях📊.
- Сравнение стабильности показателей в разных совокупностях.
- Анализ риска в инвестиционном портфеле.
- Контроль качества производственных процессов.
Историческая справка:
Понятие дисперсии и стандартного отклонения было введено в научный оборот в конце XIX – начале XX века. Впервые использование механизмов подобного рода появилось в работах статистика Фрэнсиса Гальтона, а точная формулировка и популяризация данного показателя принадлежит Карлу Пирсону. Стандартное отклонение стало незаменимым инструментом в математической статистике и прочно вошло в практику научных исследований после развития методов корреляционного и регрессионного анализа.
Известные личности и их вклад
- Карл Пирсон — сформулировал понятие стандартного отклонения и предложил его использовать для количественного анализа разброса данных.
-
Рональд Эйлмер Фишер — разработал методы оценки дисперсии и ввёл корректировку на число степеней свободы (
n-1для выборки), что стало важнейшим этапом в применении стандартного отклонения в выборочных исследованиях.
Различия между стандартным отклонением и дисперсией
- Дисперсия вычисляется как среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего, стандартное отклонение — корень из дисперсии.
- Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и исходные данные, что делает его более интерпретируемым в анализе.
FAQ — Часто задаваемые вопросы
- В чем разница между средним отклонением и стандартным отклонением?
- Среднее отклонение показывает среднее абсолютное отличие каждого значения от среднего, а стандартное отклонение — среднее квадратическое отклонение (корень из дисперсии). Второе чувствительнее к выбросам в данных.
- Можно ли использовать стандартное отклонение для сравнения разных выборок?
- Да, но лучше использовать относительный показатель — коэффициент вариации, который выражается в процентах и показывает относительный разброс.
- Что означает стандартное отклонение, равное нулю?
- Это происходит, когда все значения в данных одинаковы и равны среднему арифметическому.
- Чем отличается стандартная ошибка от стандартного отклонения?
- Стандартная ошибка предназначена для оценки степени погрешности среднего в выборке; она рассчитывается как стандартное отклонение, делённое на корень из числа наблюдений.